一、诡辩学派与几何作图

1、几何学起源
我们知道几何学的研究对象是诸如“几何物体”和图形的几何量，是空间形式的抽象化。其研究内容是各种几何量的关系与相互位置（舍弃密度、颜色、重量等）。研究方法是抽象的思辩方法，这是因为其对象的抽象性，比如，没有厚度的“直线”，是“纯粹形式” ，不能做实验。然而，几何学并非本来就是这样的。它曾经是一门实验性科学。
人类最早是从自然界中得到各种几何形式的。从人对自然界的本能感受（圆圆的太阳、挺拔的树木、辽阔的水面、笔直的光线等）而产生的无意识几何学，到人对自然界的有意识的改造与创新（发明车轮，建筑房屋、桥梁、粮仓，测量长度，确定距离，估计面积与体积等）而出现的实验几何学，再到人类由知道“如何”而穷究“为何”而最终形成推理几何学。
在中国，早在殷周时期，由于天文、水利、建筑等的需要，就有了几何学的萌芽。公元前1世纪前后出版的《周髀算经》就对几何学知识有所介绍，比如，著名的商高定理——勾股定理，就在这本书中出现，她最早在公元前11世纪前后被中国人认识。
在西方，世界公认几何学于四千年前发源于古埃及。当时，在尼罗河附近，因时常河水泛滥，土地被淹，洪水过后地界要重新测量、标记。于是为了测量土地而形成了几何学，当时叫测地学。“几何”一词源出于希腊语：gea（土地）metrein（测量） 。“几何学”的其它语言表达为：英语：Geometry，
德语：Geometrie，
法语：Géométrie ，拉丁语：Geometria 。中文“几何”，不同于中文原意“多少”的“几何”，是由明朝数学家徐光启（1562—1633）和意大利传教士Matteo Ricci (1552---1610)根据英语音译过来的。

2、古希腊的几何学
公元前七世纪到公元前六世纪，“希腊七贤”之一的“希腊科学之父”泰勒斯(Thales, 公元前624---前547)到埃及经商，掌握了埃及几何学，传回希腊。在希腊，以泰勒斯为首的爱奥尼亚学派将几何学由实验几何学发展为推理几何学；公元前六世纪（约前580—前500），毕达哥拉斯（Pythagoras, 约公元前572---前492）学派将其进一步发展（勾股定理、无理数的发现）；公元前五世纪，雅典的诡辩学派，主要研究几何作图问题，其遗留的著名的几何作图三大难题（化圆为方，倍立方体，三等分角），延续了两千多年，直到19世纪才得到答案；公元前五世纪到四世纪，柏拉图（Plato, 公元前427年---公元前347年）学派，主要进行几何学体系和几何学基础方面的研究，使几何严密化，是欧几里得研究的基础；公元前四世纪，欧多克斯（Eudoxos, 公元前409年---公元前356年）学派在数学中引入比例理论，发明了穷竭法。

3、
诡辩（智人）学派与几何作图问题
公元前五世纪，雅典的诡辩学派(又称智人学派)，以注重逻辑性而著称，他们主要研究几何作图问题。诡辩学派研究几何作图问题的主要目的是培养与锻炼人的逻辑思维能力，提高智力，他们限定使用尽可能少的作图工具，以便使人们动更多的脑筋，从而更好地锻炼人们精细的逻辑思维能力和丰富的想象力。直线是最简单的几何图形，而圆是最完美的几何图形。于是他们限定作图时仅使用能够画出直线和圆的两个基本工具——直尺（无刻度）和圆规，而且限定作图必须在有限步骤内完成。
诡辩学派研究的一些几何作图问题来自于民间传说，其中遗留下的著名的几何作图三大难题——化圆为方，倍立方体，三等分角，延续了两千多年，直到19世纪才得到答案。传说大多是无稽之谈，而且多种多样，不足为凭。但它们对问题的传播却起到了推波助澜的作用。

二、“化圆为方”——一个囚徒的冥想

公元2世纪的数学史家普鲁塔齐（Plutarch），追记一个古老的传说：
公元前5世纪，古希腊数学家、哲学家安纳萨格拉斯（Anaxagoras, 约公元前500—428年）在研究天体过程中发现，太阳是个大火球，而不是所谓的阿波罗神。由于这一发现有背宗教教意，安纳萨格拉斯被控犯下“亵渎神灵罪”而被投入监狱，并判处死刑。
在监狱里，安纳萨格拉斯对自己的遭遇愤愤不平，夜不能眠。夜深了，圆圆的月光透过正方形的铁窗照进牢房，安纳萨格拉斯对圆月和方窗产生了兴趣。他不断地变换观察的方位，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“算了，就算两个图形的面积一样大好了。”
于是，安纳萨格拉斯把“求作一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积”作为一个尺规作图问题来研究。开始他认为这个问题很简单，不料，他花费了在监狱的所有时间都未能解决。后来，由于当时希腊的统治者裴里克里斯(Pericles, 公元前？——429)是他的学生，安纳萨格拉斯获释出狱。该问题公开后，许多数学家对此很感兴趣，但没有一个人成功。这就是后来著名的“化圆为方”问题。
1882年德国数学家林德曼（C.L.F.Lindemann，1852~1939）证明了 是超越数，人们随即解决了“化圆为方”问题的不可能性。

三、瘟疫、祭坛与“倍立方体问题”
公元前429年，希腊首府雅典发生了一场大的瘟疫，居民死去四分之一，希腊的统治者裴里克里斯也因此而死。雅典人派代表到第罗（Delos）的太阳神庙祈求阿波罗神，询问如何才能免除灾难。一个巫师转达阿波罗神的谕示：由于阿波罗神神殿前的祭坛太小，阿波罗神觉得人们对他不够虔诚，才降下这场瘟疫，只有将这个祭坛体积放大成两倍，才能免除灾难。
居民们觉得神的要求并不难做到。因为他们认为，祭坛是立方体形状的，只要将原祭坛的每条边长延长一倍，新的祭坛体积就是原祭坛体积的两倍了。于是，人们按照这个方案建造了一个大祭坛放在阿波罗神的神殿前，但是，这样一来，瘟疫不但没有停止，反而更加流行。居民们再次来到神庙，讲明缘由，巫师说道：“他要求你们做一个体积是原来祭坛两倍的祭坛，你们却造出了一个体积为原祭坛8倍的祭坛，分明是在抗拒他的旨意，阿波罗神发怒了。”
居民们明白了问题所在，但是，他们绞尽脑汁，却也始终找不到建造的方法。他们请教当时的有名数学家，数学家也毫无办法，这个问题就作为一个几何难题流传了下来。
这就是著名的“倍立方体问题”，又叫“第罗问题”，直到1837年才由数学家万锲尔（P.L. Wantzel, 1814--1848）给出否定的答案。

四、公主的别墅与“三等分角问题”

公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。亚历山大城郊有一片圆形的别墅区，圆心处是一位美丽的公主的居室。别墅中间有一条东西向的河流将别墅区划分两半，河流上建有一座小桥，别墅区的南北围墙各修建一个大门。这片别墅建造的非常特别，两大门与小桥恰好在一条直线上，而且从北门到小桥与从北门到公主的居室距离相等。
过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为小公主修建一片别墅。小公主提出她的别墅要修建的向姐姐的一样，有河、有桥、有南门、北门，国王答应了。
小公主的别墅很快就动工了，但是，当建好南门，确定北门和小桥的位置时，却犯了难。如何才能保证北门、小桥、南门在一条直线上，并且，北门到居室和小桥的距离相等呢？

北门N

南门S

居H

要确定北门和小桥的位置，关键是算出夹角 。记a
为南门S与居室H连线SH与河流之间的夹角，则通过简单几何知识可以算出

即，这相当于求作一个角，它等于已知角的三分之一，也就是三等分一个角的问题。工匠们试图用尺规作图法定出桥的位置，却始终未能成功。
这个问题流传下来，就是著名的“三等分任意角”问题。直到1837年才由数学家万锲尔给出否定的答案。
五、三大作图难题，难在何处？
“化圆为方”、“倍立方体”与“三等分任意角”问题，合称古代三大几何作图难题。这些问题流传了两千多年，倾注了无数数学家的心血，难倒了无数的数学家和数学爱好者，直到19世纪才被证明是不可能的。现在我们看一看其中的缘由。
首先分析一下所限定的作图工具——直尺和圆规所能发挥的作用：
（1）
通过两点作直线；
（2）
定出两条已知非平行直线的交点；
（3）
以已知点为圆心，已知线段为半径作圆；
（4）
定出已知直线与已知圆的交点；
（5）
定出两个已知圆的交点。
17世纪法国数学家笛卡儿创立的解析几何知识，将几何问题转化为代数问题研究，从而也为解决三大难题提供了有效的工具。直线方程是线性（一次）的，而圆的方程是二次的，通过上述五种手段所能做出的交点问题，转化为求一次与二次方程组的解的问题。简单的代数知识告诉我们，通过直尺与圆规所能做出的只能是已知线段（长度）的和、差、积、商以及开平方的有限次组合。
在“倍立方体”问题中，要作出数值 ，在“化圆为方”问题中，要作出数值 ，而 是一个超越无理数，故这些都是无法通过直尺与圆规来实现的。
在三等分角问题中，如果记b=cosA, 要作出角度A/3, 也必作出相应的余弦值x=cos(A/3),由三倍角公式

可知，此值x是方程 的解。除了某些特殊的角度外，这个方程的根是无法通过直尺与圆规来实现的。

六、“不可能”与“未解决”
前面我们看到，流传了两千多年的几何三大作图难题已经在19世纪被证明是“不可能”的。但是，直到现在，还有许多数学爱好者陷入这些问题的研究。尤其是“三等分角”问题，时常有人声称找到了解决办法。一个主要的原因是把数学中的“不可能”与“未解决”视为一回事儿。
在日常生活中，我们许多情况下所指的“不可能”，意味着在现有条件或能力下是无法解决的，是不可能的，它会随着历史的发展由不可能变为可能。这里的“不可能”等于“未解决”。比如，在没有发明电话之前，一个人在香港讲话，在深圳的人们不可能听到；在没有飞机之前，要在3小时内从香港到达北京也是不可能的，如今这些都已成为可能。
但是，数学中所说的“不可能”与“未解决”具有完全不同的含义。所谓“不可能”是指，经过科学论证被证实在给定条件下永远是不可能的，它不会因时间的推移、社会的发展而发生改变。而“未解决”则表示目前尚不清楚答案，有待于进一步研究的。打一个形象的比喻：“到木星上去”是一个未解决的问题，您可以去研究解决的办法；但“步行到木星上去”则是一个不可能的事情，如果有人再去一门心思研究这个问题就会成为笑话。
几何三大作图难题是已经解决了的，结论为“不可能”。其前提是尺规作图。如果不限于尺规，它就会成为可能，目前已知的方法就有好几种。“三等分角问题”除了尺规要求外，还有一点常被人忽略，那就是三等分的是“任意角”，对于某些具体的角度，比如90°，它就是可能的。

领略了，谢谢，