殷学广
由三角形的三个顶点就能确定这个三角形的位置,形状和大小;当没有给出顶点时,由三角形的一些元素(共六个元素,分别为三角形的三条边和三个内角)也能确定三角形的形状和大小.确定了三角形,就能研究这个三角形的中线,高,角平分钱,中位线这几个重要的线段.在四边形中,是通过对角线把它分割成三角形来研究的,这样四边形中的对角线就显得更加重要.本文就如何巧用四边形的对角线来判定特殊的四边形举例加以分析,供同学们学习时参考.
一. 利用对角线判定特殊的四边形
在课堂上我们已探索过以下几个重要的结论:
(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;
(3)对角线互相平分且垂直的四边形是菱形;
(4)对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形;
(5)对角线相等的梯形是等腰梯形.
其实以上这些结论是有联系的.如图1,四边形ABCD中,两条对角线相交于点O.
(1)当OA=OC,OB=OD时,四边形ABCD是平行四边形.
(2)在OA=OC,OB=OD的基础上增加AC=BD条件时,四边形 ABCD在平行四边形的基础上变成矩形.
(3)在OA=OC,OB=OD的基础上增加ACBD条件时,四边形ABCD在平行四边形的基础上变成菱形.
(4)在OA=OC,OB=OD的基础上增加AC=BD,条件时,四边形ABCD在平行四边形的基础上变成正方形.
(5)当AB//CD,.且,OA=OB时,此时的四边形ABCD为对角线相等的梯形,即等腰梯形.
由此可知,把一个一般的四边形变为特殊的四边形,可以通过改变两条对角线的大小关系和位置关系来完成.这也是特殊四边形之间重要的联系纽带之一.
二. 利用对角线判定动态四边形的形状
如图2,中,点O是边AC上的一个动点,P是BC延长线上一点.过点O作直线MN//BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠PCA的平分线于点F,连结AE,AF.
(1)图中有等腰三角形吗
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形 简要说明理由.
(3)在(2)中的矩形可能是正方形吗 此时应满足什么条件
分析
1)图2中有等腰三角形.
理由:
是等腰三角形.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
由(1)得.
由O是AC的中点,得.
所以.
所以四边形AECF的两条对角线AC,EF互相平分且相等.故四边形AECF为矩形.
所以,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
(3)在(2)中的矩形可能是正方形.
理由:因为MN//BC,当∠ACB=90°时,∠AOE=∠ACB=90°,即对角线AC,EF互相垂直.
所以这时四边形AECF是正方形.
即在中,当∠ACB=90°时,在(2)中的矩形AECF是正方形.
