1楼:证明一个复数是实数的方法   2楼:复数同三角函数的联系   3楼:复数同实系数多项式因式分解的联系   4楼:复数在平面几何中的应用

证明一个复数z是实数的方法有3种  
(1)证明z的虚部为0  
(2)证明z和它的共轭相等  
(3)证明z^2≥0  

例1:设a,b,c是复数,∣a∣=∣b∣=∣c∣=1,证明(a+b)(b+c)(c+a)/abc是实数  
证:设a,b,c共轭复数为x,y,z,令u=(a+b)(b+c)(c+a)/abc,则将a=1/x,b=1/y,c=1/z代入得u=(x+y)(y+z)(z+x)/xyz,因此u和u的共轭相等,所以u=(a+b)(b+c)(c+a)/abc是实数  

例2:设a,b是复数,a+2b是纯虚数,17a^2+28ab+13b^2=0,证明4a+3b是实数  
证:由题目条件联想到将17a^2+28ab+13b^2配成A*(a+2b)^2+B*(4a+3b)^2,其中A,B为常数,从而(4a+3b)^2=-(a+2b)^2>0,所以4a+3b是实数

复数同三角函数的联系  

很多三角函数的求值问题利用复数很简单,仅举二例说明  
例1,求值(其中正整数n>1)  
n-1  
∏ sin(kπ/n)  
k=1  

解:因为x^n-1=0的全部根为cos2kπ/n+isin2kπ/n,其中k从0到n-1  
所以x^n-1=(x-1)∏(x-cos2kπ/n-isin2kπ/n)(其中∏是连乘积,从1到n-1)  
注意到(x-cos2kπ/n-isin2kπ/n)(x-cos2(n-k)π/n-isin2(n-k)π/n)  
=(x^2-2xcos2kπ/n+1)  
上式从k从1到n-1求连乘积,得恒等式  
[x^(n-1)+x^(n-2)+...+1]^2=∏(x^2-2xcos2kπ/n+1)  
在上述恒等式中取x=1,得  
n-1  
∏ sin(kπ/n) = n/2^(n-1)  
k=1

例2:求cosπ /7+cos3π /7+cos5π /7  

解:令z=cosπ /7+isinπ /7  
则z^7=-1  
由于z≠-1,所以z^6-z^5+z^4-z^3+z^2-z+1=0  
从而由上式实部等于0得cosπ /7+cos3π /7+cos5π /7=1/2

复数同实系数多项式因式分解的联系  

设a为实系数多项式f(x)的复根,令a共轭复数为b,对f(a)=0两边取共轭得f(b)=0,从而b也为实系数多项式f(x)的复根,此即为实系数多项式虚根成对定理  

利用实系数多项式虚根成对定理,可以知道次数不小于1的实系数多项式在实数范围内可以分解为一些不超过二次的多项式的乘积  
证明:设实系数多项式f(x)的首项系数为a,全部实根为A1,A2,...,Ai,全部虚根为B1,B2,...,Bj,C1,C2,...,Cj,其中Ck为Bk共轭复数,k=1,2,...,j  
则f(x)=a*∏(x-Ak)*∏(x-Bk)(x-Ck)  
易知(x-Bk)(x-Ck)为实系数多项式,证明完毕  

利用上面结论就可以解释前些天http://tieba.baidu.com/f?kz=312255227的题目了  
f(x)=x^4-x^3+x^2-x+1=(x^5+1)/(x+1)有4个虚根(利用单位圆可求出)

复数在平面几何中的应用  

三角形ABC和任意一点P,证明A*PB*AB+PB*PC*BC+PC*PA*CA≥AB*BC*CA  
证明:令A,B,C,P在复平面上对应复数为a,b,d,p  
令f(p)=(a-p)(b-p)/(d-b)(a-d)+(b-p)(d-p)/(a-d)(b-a)+(d-p)(a-p)/(b-a)(d-b)  
则f(a)=f(b)=f(d)=-1,从而f(x)+1=0有3个不等根a,b,d,又f(x)+1为不超过2次的复多项式,根据n次复多项式恰有n个复根,有f(x)+1恒等于0  
所以f(p)=-1  
于是(PA*PB*AB+PB*PC*BC+PC*PA*CA)/AB*BC*CA=∣(a-p)(b-p)/(d-b)(a-d)∣+∣(b-p)(d-p)/(a-d)(b-a)∣+∣(d-p)(a-p)/(b-a)(d-b)∣≥∣f(p)∣=1

科学院院长

佩服佩服！