给出含有一个或多个未知函数的等式或不等式,让求出某函数的具体解析式或证明某函数具有某种性质,这种题目属于函数方程  

基本方法有:取特殊值,换元法,利用函数的单射,满射,单调性,柯西爬坡式推理方法


换元法:已知函数f满足f(x)+2f((x-1)/x)=x+2(x-1)/x,求f(x)(x≠0,1)
解:令x=(y-1)/y,有f(y)+2f(1/(1-y))=y+2/(1-y)
又令y=1/(1-z),有f(1/(1-z))+2f((z-1)/z)=1/(1-z)+2(z-1)/z

于是有f(x)+2f((x-1)/x)=x+2(x-1)/x
f(x)+2f(1/(1-x))=x+2/(1-x)
f(1/(1-x))+2f((x-1)/x)=1/(1-x)+2(x-1)/x
将上面看成关于f(x),f((x-1)/x),f(1/(1-x))的三元一次方程组,
解得f(x)=x(x≠0,1)

柯西爬坡式推理方法
就是先求出当自变量为整数时的函数解析式,再依次证明该函数解析式对有理数,实数乃至复数也成立

求所有函数f,使f定义在R上,在R中取值,并且在R上连续,对任意实数x,y,有f(x^3+y^3)=(x+y)((f(x)^2-f(x)*f(y)+f(y)^2)①

在①中取x=y=0,有f(0)=0
在①中取x=1,y=0,有f(1)=0或1
在①中取y=0,有f(x^3)=xf(x)^2②
定义集合S如下:S中所有元素由满足下面条件的正数a组成:对于任意实数x,有f(ax)=a*f(x)

首先证明,若a^3∈S,则a∈S
事实上,由a∈S,得f(a^3*x^3)=a^3*f(x^3)
利用②,有ax*f(ax)^2=a^3*xf(x)^2
于是当x≠0时有f(ax)^2=a^2*f(x)^2③
由②可知f(x^3)与x同号,所以f(x)与x同号,进而f(ax),a*f(x)都与ax同号,于是利用③得当x≠0时f(ax)=af(x)
显然上式对x=0也成立
所以a∈S

其次,证明,若a^3,b^3∈S,则a^3+b^3∈S
事实上,由a^3,b^3∈S知a,b∈S,于是对于任意实数x,
f((a^3+b^3)x^3)=(ax+bx)(f(ax)^2-f(ax)*f(bx)+f(bx)^2)
=(ax+bx)(a^2*f(x)^2-af(x)*bf(x)+b^2*f(x)^2)
=(a^3+b^3)*xf(x)^2=(a^3+b^3)f(x^3),
从而a^3+b^3∈S

最后,利用数学归纳法证明任意正整数n∈S
事实上,n=1显然成立
假设n=1,2,...,k成立,则令a^3=1,b^3=k,有a^3+b^3=1+k∈S

所以对于任意正整数n和任意实数x,有f(nx)=nf(x)④

下面分f(1)=0,1两种情形讨论
(1)f(1)=1
利用④有f(n)=n对于任意正整数n成立
又在④中取x=m/n,有f(m/n)=m/n对于任意正整数m,n成立
在①中取x=2,y=-1,有7=4-2f(-1)+f(-1)^2
又f(-1)与-1同号,所以f(-1)=-1
于是利用④有f(n)=n对于任意负整数n成立
又在④中取x=m/n,n为任意正整数,m为任意负整数,有f(m/n)=m/n

再结合f(0)=0,有f(x)=x对于任意x∈Q成立

最后,对于任意无理数x,取收敛于x的有理数列{An},有f(An)=An
在f(An)=An中,令n趋于正无穷,取极限得f(x)=x

综上,当f(1)=1时,对于任意实数x,有f(x)=x





(2)f(1)=0
仿上可证明对于任意实数x,有f(x)=0

利用函数的单射
1,试求出所有的函数f：R→R，使得对于任何的x，y∈R，都有f（f（x）＋f（x·y））＝f（x）＋x·f（y）①  

解:分3种情况讨论  
(1)f(1)=0,f(0)=0  
则在①中取y=0,有f(f(x))=f(x)  
在①中取x=1/y(y≠0),有f(y)=0  
所以对任意实数x,有f(x)=0  

(2)f(1)=0,f(0)≠0  
则在①中取y=0有f(f(x)+f(0))=f(x)+x*f(0)②  
从②中易看出f(x)为单射(事实上,若f(a)=f(b),则利用②得a*f(0)=b*f(0),从而a=b)  
再在②中令x=0有f(2f(0))=f(0),于是由f(x)为单射得f(0)=0,矛盾  

(3)f(1)≠0  
则在①中取y=1有f(2f(x))=f(x)+x*f(1) ③  
从③中易看出f(x)为单射  
再在③中令x=0,有f(2f(0))=f(0),于是由f(x)为单射得2f(0)=0,即f(0)=0  
在① 中,取y=0,利用f(x)为单射得f(x)=x  

综上,所求的f(x)有两个:f(x)=0(x∈R),f(x)=x(x∈R)

利用函数的满射
试求出所有的函数f：R→R，使得对于任何的x，y∈R，都有  
f（x^2＋y＋f（y）＋y·f（x））＝2 y＋y·f（x）＋（f（x））^2 ①  

解:首先f（x）=-2(x∈R)代入①验证不满足条件  
所以存在实数a,使f(a)≠-2  
在① 中取x=a,有f(a^2+y+f(y)+y*f(a))=y*(2+f(a))+f(a)^2②  

在② 中令y取遍全体实数,则右边可以取遍全体实数,从而左边可以取遍全体实数,即f值域为R  
于是存在实数b,使f(b)=-1  
在① 中令x=b,有f(f(y)+b^2)=y+1 ③  
从③ 中易看出f(x)为单射  
又由f值域为R知存在实数d,使f(d)=-2  
在① 中令x=d得f(f(y)-y+d^2)=4④  
利用④和f(x)为单射得f(y)-y+c^2为常数  
于是f(x)=x+k(x∈R),其中k为常数  
代入①得2k=k^2+2kx对任意x∈R成立  
于是令x=1有k=0  

综上,所求的f(x)为f(x)=x(x∈R)

利用函数的单调性
求所有函数f：R→R对于任何的x，y∈R，都有  
f（x^2＋f（y））＝y+(f(x)) ^2 ①  

解:在① 中令x=0,y取遍全体实数,得f值域为R  
因此存在实数a,使f(a)=0  
在① 中取x=y=a,有f(a^2)=a  
在① 中又取x=0,y=a^2,有a^2+(f(0))^2=0  
所以a=f(0)=0  
于是在① 中取x=0有f(f(y))=y ②  

对于任意两个满足b>d的实数b,d,记b-d=e^2,e>0,有  
f(b)=f(d+e^2)=f(f(f(d))+e^2)=f(d)+(f(e))^2≥f(d)  
于是f为不减函数  

下面证明f(x)=x(x∈R)  
若不然，则存在实数k,f(k)≠k  
①f(k)>k  
则f(f(k))≥f(k)>k,矛盾  
②f(k)<k  
则f(f(k))≤f(k)<k,矛盾

综上,所求的f(x)为f(x)=x(x∈R)

另外,4楼的题目将连续条件去掉一样能做,有兴趣的不妨思考下

另外有吴老师的一道题目,供练习

设单射函数f：R→R对于任何的x，y∈R，都有f（f（x）＋f（y））＝f（x＋y）－2。求证：对于任何x∈R，都有f（f（x）－2003）＝f（x）－2004。